گامهای آغازین ریاضی (مطالعه - همت)

سری فوریه ، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن ، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی ، ژوزف فوریه ثبت شده است.

در نظریه سریهای فوریه نشان داده شده است که اگر (f(x در شرایطی مثل (شرط دیریکله) صدق کند، می‌توان آن را به صورت سری هماهنگی به شکل:



بسط داد و اینکه در نقاط ناپیوستگی سری سمت راست رابطه فوق برابر مقدار متوسط است. ضرایب a_n و b_n را می‌توان با استفاده از روابط متعامد:







که در آنها _mnδ نماد کرونکر است که به ازای m=n برابر واحد و در غیر اینصورت صفر است. همچنین اگر یک تابع متناوب با تناوب T باشد یا به عبارتی: (f(t + T) = f(t آنگاه ، این تابع به صورت زیر می‌تواند نوشته شود:



در اینجا داریم:





سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:



که


حساب کرد. می‌توان نشان داد که این سری به طور یکنواخت در بازه (L/۲ , -L/۲) همگراست، بطوری که انتگرال گیری جمله به جمله در استنتاج این معادلات کار بجایی است. این معادلات را با تبدیلات زیر ادامه می‌دهیم:





در نتیجه:



بنابراین:





حال با تغییر بازه انتگرال گیر فوق به {o,2L} داریم:





این سری را می‌توان به صورت زیر هم نوشت:



به عنوان آزمون:







بنابراین:



ضریب A_n را می‌توان به صورت زیر توسعه داد:





در نهایت در بازه {L/2 , L/2-} سری فوریه به صورت:



و

تعریف می‌شود.

منبع : سايت رشد